ПЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ привчижнния

323

Сравним теперь этот результат с тем, что даёт аппарат цепных

Р

дробей. Если —

есть одна из подходящих дробей данного числа а,

то, как мы знаем (см. теорему 7 главы IV),

qlq, ,

где 4' — знаменатель следующей за —

подходящ ей

как t/>q, то тем более

дроби.

(1)

так

таким образом, заменяя в порядке приближения число а подхо-

лящей дробью

мы допускаем погрешность, не превосхо-

При сколько-нибудь значительном q величина

дящую

q2

q2

1

это показывает, что приближение

во много раз меньше, чем

подходящими дробями при примерно одинаковом порядке знамена-

теля приближающей дроби даёт погрешность, во много раз меньшую,

чем приближение десятичными (и вообще систематическими) дробями.

Рассмотрим пример. Пусть мы хотим найти приближённое зна-

чение числа в виде рациональной дроби, знаменатель которой не

превосходил бы 100. Известно, что разложение в десятичную дробь

даёт нам ответ в виде дроби

314

= 100

с погрешностью, приблизительно равной 0,0016.

С другой стороны, разлагая в цепную дробь,

7, 15,

это даёт:

106'

легко находим:

так как знаменатель приближающей дроби должен быть не больше

22

100, то мы выбираем в качестве приближения дробь

и полу-

чаем в силу неравенства (1)

Мы видим, таким образом, что приближение подходящей дробью

дало нам лучшую точность при значительно меньшем знаменателе

(7 вместо 100), чем приближение десятичной дробью. Мы видим

наглядно, чем это вызывается: когда мы приближаем данное число

десятичной дробью, мы можем выбирать знаменатель только вида

10п; поэтому при выборе этого знаменателя мы бессильны учесть

21$