ГЛАВА

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ

и ЦЕпными ДРОБЯМИ

S 10. Введение

Оба аппарата — систематические (в частности, десятичные) ц

цепные дроби — полностью осуществляют своё назначение лишь

тогда, когда мы охватываем ими всю совокупность действи-

тельных (в том числе и иррациональных) чисел. В самом деле, для

рациональных чисел простые (обыкновенные) дроби являются таким

формальным аппаратом, который в большинстве встречающихся

задач оказывается вполне удовлетворительным и лишь в отдельных

случаях заставляет искать иных формальных приёмов исследования.

Для иррациональных же чисел мы никакого аналогичного аппарата

не имеем; для них весь арсенал формальных орудий исследования

и оперирования впервые создаётся систематическими или цепными

дробями.

Как мы уже говорили, систематические дроби имеют своим

главным преимуществом ту замечательную простоту, с какою они

подвергаются основным арифметическим операциям. Но если мы

ставим себе задачу исследовать арифметическую природу какого-

либо числа, всё равно — рационального или иррационального, —то

представлять его для этого в виде систематической (например, де-

сятпчной) дроби было бы нецелесообразно: чередование цифр

в этой дроби характеризует собою не абсолютную природу дан-

ного числа, которая нас интересует, а лишь его взаимоотношение

с выбранной системой счисления; достаточно вспомнить, что одно

и то же число может изображаться в одной системе конечной, а

в другой бесконечной систематической дробью. Напротив, алго-

рифм цепных дробей, не зависящий ни от какой системы счисления,

даёт такое представление чисел, которое обусловлено исключи-

тельно собственной их арифметической природой и потому наилуч-

шим образом приспособлено к исследованию этой природы.

Наша средняя школа, обучая детей действиям над дерятичными

дробями, почти не касается теорегических основ этого аппарата.

20 *