АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫВ ДРОБИ

305

. Мы приходим, таким образом,

дробями, которое равно

к предложению, играющему основную роль во всех ВОПРОСДХ при-

ближённого представления чисел.

Теорема З.

l; [hl

Теория цепных дробей исторически возникла из потребности

приближённо представить дробь, числитель и знаменатель которой

очень велики, другою дробью, у которой они значительно меньше.

Творец теории цепных дробей Христиан Гюйгенс при построении

модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес встре-

тился со своеобразным затруднением: для того чтобы отношение

времён оборота двух зацепляющихся зубчатых колес равнялось от-

ношению времён оборота вокруг солнца двух изображаемых этими

колесами планет, надо, чтобы в том же отношении стояли и числа

зубцов этих двух колёс. Однако отношение это выражается столь

большими числами, что технически невозможно изготовить колоса

с такими «астрономическими» числами зубцов. Поэтому возникает

необходимость ограничиться приближённой моделью, выбирая числа

зубцов• технически осуществимыми и вместе с тем так, чтобы отно-

шение этих чисел было, по возможности, близко к заданному от-

ношению очень больпшх чисел. Здесь и щ)иходят на помощь цеп-

ные дроби. Пусть а и Ь— те большие числа, отношение которых

мы хотим в порядке приближения заменить отншпением меньших

чисел с и d; для определённости допустим, что по техническим

или иным условиям число d не должно превышать 100. Тогда мы

а

в виде цепной дроби и вычисляем по-

представляем отношение

следовательные подходящие дроби. Пусть при этом оказалось, что

100, но уже Тогда мы полагаем

и теорема З позволяет нам просто и удобно оценить ту погреш-

отношением

ность, которую мы сделаем, заменив отношение

Пример. а=:::: 1355, Ь Мы находим:

[1; 2, з, 5, 8, 31,

(13-¯37'

зоз '

53l<

946 ¯ 37

1121t

Если бы мы хотели получить решение нашей задачи с помощью

десятичных, а не цепных дробей, то для достижения такой точ-

ности нам пришлось бы взять дробь по меньшей мере „с четырьмя

20 Эныцмлонедмя, кн.