ПВПнЫВ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

329

Воспользовавшись теоремой 2, мы можем так сформулировать

теорему З: если п

Р

является наилучшим приближением число а.

то

До казаьте л ь ст во. Пусть • лана рациональная дробь та

кая, что

1

и lq'a — р' qa—p

(а)

Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что

q' В самом деле, из неравенств (а) имеем:

2qq'

в предположении q q' и, следовательно, — # --,- , lp'q —q'p 1

отсюда вытекает:

1

откуда

1

q'

1

F2q' ?.q'

Р

2q '

1

т. е. 4' что и требовалось доказать.

Теорема З даёт очень простой признак того, что дробь

есть

одна из подходящих дробей числа а; однауо признак этот не яв-

ляется характеристическим: число а может, вообще говоря, иметь

бесчисленное множество подходящих дробей, не обладающих этим

признаком. Можно было бы убедиться, что вообще необходимого

и достаточного признака вила

где а— постоянное число, существовать не может.

Можно, однако, всё же указать для подходящих дробей числа а

характеристический (т. е. необходимый и достаточный) критерий

достаточно простого вида. Разложим данную дробь

в цепную

дробь

и обозначим через

разложения:

предпоследнюю

, а, , (12,

подходящую дробь этого

ап-1]-