348

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

числа и ап 0. Назовём «высотою» этого уравнения ПОЛОЖИТельное

целое число

-l-lan:.

Если высота уравнения дана, то и степень его и абсолютные зна-

чения коэффшшентов ограничены; поэтому может существовать лишь

конечное число уравнений вила (З) с данной высотой П. Так, сово-

купность уравнений высоты З исчерпывается, очевидно, уравнениями

х2 0,

2х—0.

—х— 1 2=0,

2х—0,

Это обстоятельство позволяет нам в первую очередь перенумеровать

все уравнения типа (З). Наименьшая возможная высота уравнения

есть, очевидно, А и уравнений с такой высотой только два:

х и Эти два уравнения мы снабжаем соответственно

номерами 1 и 2. Затем мы переходим к выписанным вып1е восьми

уравнениям высоты З и последовательно придаём им следующие

номера: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Потом мы переходим к уравнениям

. Так

высоты 4 и последовательно нумеруем их числами 11, 12, .

как каждой высоте соответствует лишь конечная группа уравнений,

то при безграничном продолжении описанного процесса действи-

тельно каждое уравнение типа (З) рано или поздно получит свой,

ему одному приписанный номер. Таким образом, множество всех

уравнений типа (З) может быть перенумеровано.

А теперь перейдём к нумерации (действительных) алгебраиче-

ских чисел. Основою этой нумерации будет служить то, что в силу

основной теоремы алгебры уравнение вида (З) может иметь лишь

конечное (не более п) число корней. Возьмём уравнение лг2 1, и пусть

оно имеет ,'ll различных между собою действительных корней; обо-

а Перейдём к уравнению 2;

значим эти корни через а» Ч, ,

пусть оно имеет п, действительных корней, отличных друг от друга

и от корней уравнения лг2 1; обозначим эти корни через • • -

Далее, действительные корни уравнения N2 З, отличные

.l„ne•

друг от друга и от корней уравнений и ЛФ 2, обозначим через

число таких корней. Будем продолжать этот процесс без-

если Пз—

гранично. Мы получим ряд чисел

(7)

в котором каждое число, удовлетворяющее какому-либо уравнению

типа (З), встретится один и только один раз. Таким образом, этот

ряд представляет собою не что иное, как перенумерованное мно-

жество всех алгебраических чисел.