336

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Пусть мы хотим сделать:

ха — у О),

(12)

где t— данное (большое) натуральное число. Сколь большим нам

придется для этого выбрать число х (а значит, и у)? Чтобы ре-

шить этот вопрос, заставим х пробегать ряд чисел 0, 1, 2

,...,t

и для каждого из этих значений возьмём «дробную часть» про-

изведения ха

ха — [ха].

Таким образом, мы получим t-f-1 чисел ха— [xal, удовлетворяю-

щих, очевидно, неравенствам

Если мы теперь разобьём отрезок (0, 1) на t равных отрезков (дли-

), причём к каждому из этих отрезков причислим его левый

конец, но не будем причислять правого, то, очевидно, каждое из

наших чисел ха— [хил будет принадлежать в точности одному из

этих частных отрезков. Но чисел у нас t-l- 1, а отрезков — толь-

ко t; поэтому обязательно найдётся такой отрезок, который содер-

жит два числа хја — [Х1а] и — lx„a]. Но тогда разность этих

двух чисел будет меньше, чем длина содержащего их отрезка, т. е.

меньше чем —. Допуская для определённости, что хт <х2, и по-

лагая [хд — мы поэтому будем иметь:

1

причём, очевидно, 0 Мы приходим, таким образом, к сле-

дующему важному предложению, принадлежащему Дирихле:

Теор ем а 7. Пусть а— любое Действительное число и t—

любое натуральное число; тогда существуют такие целые числа

х и у, что

(13)

Таким образом, неравенствам (12) всегда можно удовлетворить,

выбирая х не ббльшим, чем данное число t. Из неравенств (13),

очевидно, вытекает неравенство

ха — У

существование сколь угодно больших решений которого нам

хорошо известно из теории цепных дробей; теперь мы доказали

его методом Дирихле без всякого алгорифма. Впрочем, теоре-

ма 7 очень легко доказывается и с помощью цепных дробей: