ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

S 14. Диофантовы приближения

335

Мы уже видели, что тривиальный на первый взгляд переход от

к разности ! qa—pl (служащей в качестве меры

разности ел—

для оценки точности приближения) привёл нас как к более закон-

ченному решенпю ранее поставленных задач, так и к естествен-

ному возникновению новой проблематики. Однако его значение

в этом последнем направлении нами ещё далеко не исчерпано.

Принципиально наиболее важными и исторически наиболее зна-

чительпыми здесь оказались такие линии развития, которые вы-

ходят далеко за пределы не только теории цепных дробей, но и

всей проблемы приближения действительных чисел рациональными

дробями. К этим весьма широким выводам мы и должны теперь

обратиться.

Когда мы искали такие целые числа q и р, для которых раз-

носгь qa—p становится весьма малой по абсолютному значению

(а именно так мы ставили задачу в первой половине этой главы),

то можно, очевидно, сказать, что мы занимались приближенным

решением в целых числах х, у уравнения

(11)

где а было данным действительным числом; мы требовали при

этом, чтобы х было положительным, и этим исключали тривиальное

точное решение Если число а рационально, то уравне-

ние (11) всегда имеет бесчисленное множество нетривиальных (т. е.

отличных от раз навсегда исключаемого тривиального решения

0) точных решений. Напротив, если а иррационально, то

уравнение (11) не может иметь других точных решений, кроме

тривиального. Поэтому здесь встаёт вопрос о приближённом его

решении и о тех закономерностях, которые здесь имеют место.

Этим вопросом мы и занимались до сих пор. Так, например, только

что установленную нами теорему 6 с нашей новой точки зрения

можно формулировать так, что при иррациональном а уравнение (11)

имеет бесчисленное яноэюество maktl„v приближённых решений

0, у, для которых

1

lxa—y

V3x'

есть наименьшая положительная постоянная, ло-

н что

гущая выступать в этой роли.

Лежен Дирихле принадлежит заслуга создания замечательного

своей простотой и мощностью метода, позволяющего изучать зада-

чу приближённого решения уравнения (11) (и, как мы скоро увидим,

много других аналогичных задач) без применения как цепных дро-

бей, так и вообще какого бы то ни было специального аппарата.