338

ЭЛВМВНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

(среди этих дробных частей могут быть и равные между собою;

это замечание, впрочем, относится и к рассмотренному выше про-

стейшему случаю; там, как и тут, оно ничем не мешает строгости

доказательства).

Разобьём теперь отрезок (О, 1) на Р равных отрезков (длины

1

О), причём снова будем считать левый конец принадлежащим,

а правый — не принадлежащим каждому такому частичному отрезку.

Снова каждая из наших дробных частей (14) принадлежит в точно-

сти одному из частичных отрезков, и снова число (t4- дробных

частей больше чем число Р отрезков. Поэтому снова найдётся от-

резок, содержащий по меньшей мере две из дробных частей (14).

Пусть эти две дробные части получены для значений переменных

Полагая

и

п

..Via,

мы, как и ранее, получаем:

1

причём и, разумеется, не все равны нулю (что удобно

х; > 0). Таким образом, мы приходим к

выражать неравенством

следующей общей теореме, также устаиовленной Дирихле:

Т е ор ем а 8. Пусть а] , ... , ап—любые Действительные чи-

сла и t — любое натуральное число; тогда существуют такие

целые числа х1, . , хп, у, что

.Xi(ii — У

2х>0.

Если обозначить через х наибольшее из чисел X11, 1х2 ,

lxn], то из теоремы 8, очевидно, вытекает

Сл е д ст в и е. В условиях теореяы 8 существует бесчислен-

ное множество таких систем значений ..v1, х, , ... ,

хп, у, что

Xi“i — У

Это важное неравенство, обобщающее хорошо известное из тео-

рии цепных дробей неравенство

1

qa — р