ГЛАВ А •VI

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

S 15. Теорема Лиувилля и первое появление

трансцендентных чисел

а

Всякое рациональное число

есть корень уравнения первой

Ь

степени с целыми коэффициентами

и обратно, корень всякого такого уравнения есть некоторое радио-

нальное число. Множество рациональных чисел есть, таким образом,

множество корней всех уравнений первой степени с целыми коэф-

фициентами. Став на эту точку зрения, мы, естественно, будем склонны

считать, что простейшими иррациональными числами нужно будет

признать те, которые удовлетворяют квадратным уравнениям

ахЧ-ьх+с=О

(1)

с целыми коэффициентами а, Ь, с. И первые ирра-

гшональности, с которыми мы встречаемся уже на школьной скамье, —

это квадратные корни из целых или, общёе, рациональных чисел; но

всякое такое число

есть корень квадратного уравнения

qx2 — р 0,

(2)

представляющего собой разновидность уравнения (1). Как известно,

и обратно — корни любого уравнения (1) с целыми а, Ь, с рацио-

нально выражаются через иррациональности типа (2). Дальше мы

в школьном курсе встречаемся с корнями третьей, четвёртой и т. д.

степеней из рациональных чисел; такие иррациональности являются,

аналогично щ)едшествующему, корнями уравнений третьей, четвер-

той и т. д. степеней с целыми коэффициентами.