ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ привлиЖЕния

333

Если же с то ложно найти такое иррациональное ни-

сло а, что неравенству

с

будет удовлетворять не более конечного числа рациональныХ

Дробей

Док аз атель ст во. Для доказательства первого утверждения

теоремы 6 нам понадобится следующая

Л е м ма. Из двух отношений

по меньшей лере

одно превосходит число

2

qn+2

1) в силу +

В самом деле, из —

qri+i

следо-

вало бы:

qn+1

этим лемма доказана.

+ 1-1-

апо

где

Положим теперь для любого 1

[ai+t;

0i+3'

имеет тот же смысл, что и в главе lV (см. стр. 318). Как мы там

видели (стр. 320),

1

поэтому наше утверждение будет доказано, если покажем, что

по меньшей мере одно из трёх чисел куп, превосходит 1/5.

Так как а, +1

, то

ai+1

1

(li+1

qi-l

(10)

qn-l-1 И qn+3

В силу доказанной нами леммы из двух отношений

qn+1

по меньшей мере одно превосходит Т. Пусть для определённости

Так как функция и-{-— возрастает при 1, то в слу-

чае

мы имеем:

апо

qn41

1) Разумеется, знаки равенства здесь невозможны ввиду иррационально-

сти числа Т.