328

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

В самом деле, если дробь -2

не есть подходящая дробь числа

а, то пусть п таково, что 1); так как в силу нера-

венства (7) тогда

Ч па — Рп ; qa — р ((1п

не может служить наилучшим приближением второго рода для

то

числа а. Таким образом, мы можем считать установленным следую-

щее предложение:

Т е о рема 2. Все подходящие дроби Данного числа и только

они являются наилучшими приближен[шяи второго рода.

Можно было бы показать, что теорема 1 не допускает обраще-

ния, подобного только что проведённому: кроме подходящих дро-

бей, в качестве наилучших приближений пер вого рода могут

выступать и другие дроби. Таким образом, мы в рассматриваемом

случае как раз имеем пример такого положения вещей, когда рас-

смотрение разностей типа lqa—pI приводит к результатам более

простым и законченным, чем для разностей типа а—

Вместе с тем теорема 2 естественно ставит перед нами и одну

новую задачу. Пусть нам даны действительное число а и рациональ-

ная дробь 2;

как узнать, будет ли — подходящей дробью числа а?

В известном смысле теорема 2 на этот вопрос отвечает: надо по-

смотреть, будет ли дробь

— для числа а наилучшим приближением

второго рода. Однако такой ответ нас мало удовлетворяет, так как

этим путём нам придётся сравнивать данную дробь со всеми дро-

бями, имеющими меньшие знаменатели; мы естественно хотим

иметь такие признаки, которые позволили бы нам решить постав-

ленный вопрос, привлекая к рассмотрению только число а и дан-

ную дробь 2.

Пример замечательно простого признака такого рода даёт нам

доказанная ещё Лежандром

Теорема З. Если и

Р

есть подходящая дробь числа а.

то

1) Случай р#рп мы можем не рассматривать; легко вилеть,

что такая дробь

- пе может быть наилучшим приближением второго рола,

так как, например, при 1, р#рп, 1qa—p (чла —рп)

> — Рп-1 •

qn+1 qn