ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСвл СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

Точно так же подходящие дроби нечётного порядка образуют убы-

вающую последовательность

Р 2Р+1

(12А-н

все члены которой остаются больше чем

поэтому существует

предел

litn

Гг —т (х)

Вместе с тем мы имеем для любого

Чвк-н

и значит,

_ Рек

t72k.+1

Но в силу свойства 1 (п 1), так что безгранично

возрастает при п х . Поэтому правая часть последнего неравен-

схва сколь угодно мала при достаточно большом К; а так как

от К не зависит, то

Таким образом, для каждой бесконечной цепной дроби сулцест-

вует предел

lim

П СО п

который мы естественно и примем за значение этой дроби. Мы бу-

дем также говорить, что бесконеуная цепная дробь (5) «предста-

вляет» число и; при этом, очевидно, для любого

Далее, отсюда же следует, что при любом п

qnq

[ао; от, Щ, . ап] (п * 0), то предельное соот-

Так как

ношение, связывающее цепную дробь (5) с её подходящими дро-

бями, может быть переписано и в следующей выразительной форме:

• lim [ао•, 01 , Ч, ... а]

Полученные нами до спх пор результаты мы соберём в следую-

щем предложении: