ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Теперь мы должны показать, что если

Если Р- —Рп—1

то неравенство (З) совпадает с уже

325

то

(3)

доказанным

Р тогда

нами неравенством (2). Поэтому допустим, что —

(1п—1

Ipqn-1

Р Рл-1

qqn-1

qn-1

Рл-1

qqn-l qnqn-1 Ъ qn-1

и потому не может при-

дальше, чем

— отстоит от

Рп—1 Рп

внутри которого, как мы знаем,

надлежать отрезку

лежит и. Таким образом, либо

— лежит относительно а по ту же

но дальше, чем

тогда

сторону, что

что и требовалось доказать; либо же — лежит относительно ех по

но дальше, чем Рд:4-; тогда

Рп—1

ту же сторону, что

Теорема 1, таким образом, доказана во всех случаях.

До сих пор мы всегда измеряли доброкачественность прибли-

тем, насколько мала разность а—— •

жения числа а дробью

такой подход является, конечно, наиболее естественным. Однако

во многих случаях мы можем использовать с этой целью и вели-

чину lqu—pl, отличающуюся от предыдущей лишь множителем q.

Так, например, найденный нами для любой подходящей дроби

числа а закон приближения

может быть, конечно, с тою

lqna

1

Чл+1

же точностью выражен неравенством

qn+1