314

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Доказа тель ст во. Пусть число - имеет несократи-

Если r достаточно велико, то при этом все входя-

мук) форму •

щие в Ь общие множители чисел Ь и К сократятся, так что мы

можем считать b' взаимно простым с К. Пусть

1era

а”

В силу теоремы 5 число

представляется чисто

b'

дробью 0,blb2.. .b .

через .ап. ..

дробь, представляющую число

иметь в силу (2) и (З) для любого 1

откуда

ara-na•h

(3)

периодической

Но, обозначая

а, мы будем

(4)

Это показывает, что дробь 0, ... а

представляющая число

— периодическая. Она не может быть чисто периодической,

так как тогда, в силу дополнения к теореме 4, Ь было бы :взаимно

просто с К. Этим теорема 6 доказана.

Пр и ме чан и е. В частности, если все простые множители,

содержащиеся в числе Ь, содержатся и в числе К, то а так

как 1, то и, следовательно, bn

но тогда в силу (4) и

а

а

представляется конечной дробью. Очевидно, что

т. е. число а —

справедливо и обратное: всякая конечная дробь представляет рацио-

где д— целое число; если поэтому

нальное число вида а—

то Ь не может иметь простых

несократимая форма дроби а есть

делителей, отличных от простых делителей числа К. Поэтому мы

получаем

До по л не н и е. Для того чтобы число а представлялось

конечной К-шной Дробью, необходимо и Достаточно, чтобы очо

бы,зо рационально н чтобы в его несократимой форме а —

чи-