312

отсюда

ЭЛЕМЕНТЫ ТЩ)РИИ ЧЧСЕЛ

— 1, /eQi3

и следовательно (вспомним, что Р),

— — К [ /еП+Ч-2

veq-1(g+P)]—

— КТ— К [/eq-1P]

Так как при этом п сколь угодно велико, то тем самым дока-

зано, что среди цифр действительно найдётся сколь угодно

много таких, которые меньше К— 1. Этим доказательство теоремы

З завершено.

Мы видим, таким образом, что систематические дроби при лю-

бой системе счисления могут служить формальным аппаратом пред-

ставления действительных чисел, удовлетворяющим основному тре-

бованию возможности и единственности представления для любого

действительного числа. Теперь мы должны обратиться к предло-

жениям, устанавливающим связь между арифметической природой

представляемого числа и особенностями представляющей его дроби.

Т е ор е ма 4. Всякая периодическая К-ицная дробь представ-

ляе1П неко/порое рациональное число а.

Доказат ель ст во. Дробь (1) называется периодической, если

можно указать такие числа и 1, что ап=:::: апњ'.. для всех

Поэтому число а, представляемое такой дробью, может быть запи-

сано в виде

1

откуда и видно, что сх есть рациональное число. Теорема 4 таким

образом доказана.

Пр им е ча н и е. Периодическая дробь (1) называется чисто

периодической, если и смешанно-периодическоп, если 0.

В случае чисто периодической дроби, т. е. при r==0, последнее

равенство даёт для а простое выражение

tIikS—1 -4- „

так как число Р — 1, очевидно, взаимно просто

то мы

получаем