300

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Однако эта двузначность имеет столь же тривиальный характер,

как в теории десятичных дробей, например двузначность представления

—0,999 ...

и как там мы уничтожаем эту двузначность простым соглашением

не пользоваться разложениями, оканчивающимися бесконечным рядом

девяток, так и здесь мы можем условиться исключить из рассмотре-

ния все цепные дроби, у которых апн :::::= 1. Это всегда возможно. так

как дробь

[Щ; а.» ап_1, ап, 1]

всегда равна дроби

у которой последний элемент больше единицы.

Покажем теперь, что, приняв только что упомянутое соглашение,

мы тем самым обеспечиваем единственность представления всякого

рационального числа в виде цепной дроби. Пусть

причём

из

следует,

ar>l и 1; требуется доказать, что r==s,

— bo-l-

-4-

что целые части левой и правой дробей должны быть

одинаковы; но второе слагаемое левой дроби есть правильная дробь,

так как единице оно может равняться лишь при

1, 01 —1—

случай, исключённый напшм требованием 1. Поэтому целая

часть левой дроби есть до; по такой же причине целая часть правой

дроби есть bo и, следовательио, bo. Но если так, то наше

равенство даёт:

тем же путём, каким мы установили мы отсюда находим,

— Ь]. Продолжая этот процесс достаточное число раз, мы,

что а, —

очевидно, постепенно установим всё, что требовалось доказать.

Таким образом, единственность разложения числа в цепную дробь

мы можем считать установленной.