308

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Это объясняется тем, что десятичные дроби изучаются в пятом

классе, когда усвоение строгой теории систематических дробей по-

требовало бы навыков формального мышления, значительно пре-

восходящих возрастные возможности учащихся. Поэтому и учеб-

ники арифметики для средней школы либо вовсе не касаются этой

теории, либо лишь на примерах, без общих рассуждений, устанав-

ливают её основные положения. А между тем учитель не может,

конечно, уверенно вести преподавание учения о десятичных дробях,

если ему самому теоретическая база этого учения не ясна во всех

своих частях.

Что касается цепных дробей, то в данный момент средняя

школа совсем не включает их в свои программы. Однако это уче-

ние, будучи одним из самых живых и действенных арифметических

завоеваний классической эпохи и пругтом таким, которое и до сих

пор остаётся важнейшим вспомогательным орудием математического

научного творчества, бесспорно должно стать достоянием каждого

культурного математика.

S 11. Систематические дроби

Мы возьмём за основание системы счисления произвольное целое

число К 1; мы будем, следовательно, говорить о представлении

чисел К-ичными дробями. Как известно, в приложениях обычно

выбирают 10; но для построения теории совершенно безраз-

лично, какое число выбрано основанием системы счисления, и

потому здесь у нас нет никаких причин фиксировать этот выбор.

В качестве представляемого числа может фигурировать любое

действительное число а. Только для того, чтобы технически немного

упростить расчёты и их запись, мы будем всегда предполагать,

что 1. Таким образом, целые части наших К-ичных дробей

мы всегда будем предполагать равными нулю; совершенно оче-

видно, что это не внесёт в наши рассуждения никаких существен-

ных ограничений и что добавление, в случае надобности, к нашим

дробям тех или иных целых чисел не вызовет никаких добавочных

затруднений.

О пр ед е лени е 1. Числа 0, 1, 2, .. ., К— 1 называются цифрами.

О п р е д е л е н и е 2. Пусть дана бесконецная последовательность

цифр

01 , а,д, •

Тогда бесконечный ряд

(1)

называется /е-ицною Дробью (или просто дробью); исключаются

из рассмотрения 1п0лысо такие последовательности, в которыХ

все а начиная с некоторого жесша, равны — 1.