324

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

арифметическую природу представляемого числа: если бы в нашем

примере мы вместо искали приближённого представления для

любого другого числа, знаменатель приближающей дроби остался бы

всё тот же — 100. Напротив, при аппроксимации подходящими дро-

бями мы выбираем знаменатель приближающей дроби, исходя из

разложения данного числа в цепную дробь, т. е. всемерно учитывая

сго арифметическую природу; для различных представляемых чисел

знаменатели при этом окажутся весьма различными; и естественно,

что эта гораздо ббльшая свобода маневрирования приводит к зна-

чительно лучшим результатам. Мы видим, таким образом, что за те

действительно замечательные вычислительные удобства, которые

предоставляют нам систематические дроби, нам приходится распла-

чиваться довольно дорогой ценой.

Если, таким образом, сравнение качества систематических и цеп-

ных дробей как приближающего агшарата решительно говорит в пользу

цепных дробей, то всё же оценка эта является, конечно, лишь сра-

внительноИ, и остаётся открытым вопрос о возможности ещё более

сильных методов. Поэтому мы теперь займёмся изучением добро-

качественности приближений, даваемых подходящими дробями, с абсо-

лютной точки зрения, безотносительно к другим специальным при-

ближающим аппаратам. Прежде всего мы убедимся, что подходящие

дроби данного числа являются для него «наилучшими приближе-

ниями» в следующем совершенно определенном смысле:

— подходящая дробь числа а, то любая

Теор_ема 1. Если

Дробь ,

знаменатель которой Ъ, отстоит от а Дальше,

Таким образом, любая подходящая дробь даёт нам приближение,

лучшее, чем любая дробь с меньшим знаменателем, так что всякое

дальнейшее усиление точности может быть Йостигнуто лишь ценою

увеличения знаменателя (а значит, и числителя) приближающей дроби.

Для доказательства этой теоремы убедимся сначала, что всякая

подходящая дробь лежит к а ближе, чем предшествующая под-

ходящая дробь В самом деле, в силу теоремы 7 главы IV

(стр. 318) дробь

и а; поэтому

лежит между

qn—1

РП+1 _Рп—1

?п+1 qn.1

] qn—1 (Рпап+1 + Рп—1) ат-1 + рл—я)

Дл—1 qn+1

(2)

qn-1 qn+l

что мы и утверждали.

qn qm-1