До п о л не н и е. Чисто периодическая дробь представляет ра-

в котором Ь взаимно просто с К.

цнональное число ,

а

Т е оре ма 5. ПУСТЬ рациональное число, что

Ь взаимно просто с К. Тогда а представляется цисто периодиче-

скоп Дробью.

Доказа тель ст во. Согласно теореме Эйлера (стр. 279), мы

имеем:

h9(b)—

1 (00d Ь),

или, полагая для краткости П,

где — целое число. Поэтому

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

1 —bq,

313

aq

а

aq

1

откуда

и, значит, при любом п

[Ieti4ha] — К

—К- [КПа] — [enaq —

Этим теорема 5 доказана.

aq —l—a

[кп (aq + а)] — [Р- 1 (aq -1- а)]

[Р-1а] = [КПа] — К ап.

Пр и меча н и е. Из теоремы 5 нельзя заключать, что период

дроби, представляющей число а, равен (Ь); возможно, что

период меньше h, так что h последовательных цифр этой дроби

содержат не один, а несколько периодов. Вопрос о том, как по дан-

ным а и Ь найти длину периода, представляет значительный интерес,

но •здесь мы его рассматривать не можем. Это же относится и к

аналогичным вопросам, возникающим в связи с теоремой 6.

а

Теорема 6. Если Ь Не взаимно просто с К, то число

ь-

(где а и Ь взаимно просты) представляется смешанно-периодше-

ской Дробью.