310

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Примечани е. В частности, при мы находим:

число, представляемое К-ичной дробью, всегда принадлежит, следо-

вательно, этому отрезку.

Доказательство.

Так как

то, очевидно, а— s » О; далее, так как по нашему соглашению

среди цифр аи +1, • • •

всегда найдутся меньшие, чем К — 1, то

1

чем теорема 1 доказана.

Теорема 2. Для того чтобы дробь (1) представляла число а,

необходимо н Достаточно, чтобы при любом п было:

(КПа] —К [Р-1а].

(2)

Пр и меча н и е. Символ [х] означает наибольшее целое число,

не превосходящее х. Так, [б] —

Док а за тель ств о. 1) Пусть число а и дробь (1) таковы,

что 0 и соотношение (2) выполнено дјш любого 1.

Тогда

откуда

Но так как для любого х,

[hi-1a

очевидно, то

1

отсюда sn•a при н —>сх), это и означает, что дробь (1) пред-

ставляет число а.

2) Пусть теперь, обратно, дробь (1) представляет число а. Тогда

в силу теоремы 1 для п

откуда

/ensn < 4- 1.