АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

301

Теперь мы введём основное для всей теории понятие подходя-

щей дроби. Пусть мы имеем произвольную цепную дробь

1

1

Рассмотрим тогда ряд выражений [ао], [ао•, а, 1, [ао; а» а,2], .

[а • а, , щ, ал_1], [ао; а, , а,д, ..., ап], последнее из которых

есть данная цепная дробь, а предыдущие получаются её «обрыва-

нием» на том или другом неполном частном ак. Каждое из этих

выражений можно вычислить, т. е. свернуть в простую дробь:

аоа, + 1

1

и т. д. Получающийся при этом ряд простых дробей мы и называем

подходящими Дробями данной цепной дроби (или представляемого

ею числа

через

4);

мы будем последовательно обозначать эти дроби

Р,

так что, в частности,

ро ао, 4-1, р, (аоа1 —1— 1) а, ао,

(7)

(12 аяа, -4-1,

Очевидно, что

Далее, соотношения (7) показывают, что

Чрезвычайно важно, что этот «закон образования» числителей и

знаменателей подходящих дробей является всеобщим: для любого

(2 мы имеем:

(8)