316

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

не вкладывая ло нремени в этот символ никакого реального содер-

жания, построить последовательность «подходящих дробей»

qo

11 ,

1

-4-

Эти подходящие дроби имеют вполне реальный смысл; они ничем

не отличаются от тех подходящих дробей, которые мы рассматри-

представляет собою такую

вали в главе lII, потому что

функцию элементов ап, а, , . ап, вид которой ни в какой мере

не зависит от того. является ли а последним элементом или за

ним следует ещё апн. Всё различие состоит в том, что конечная

дробь имеет лишь конечное число таких подходящих дробей, по-

следняя из которых и есть «значение» данной дроби, в то время

как бесконечная дробь имеет бесконечную последовательность под-

ходящих дробей, а «значение» ее пока ещё нами не определено.

В частности, подходящие дроби обладают следующими свой-

ствами, установленными в главе III:

1. Для п

Р п—1ап +

qn-1an + (1п-я•

2. Для п дробь

несократима и

З. С ростом порядка подходящие дроби чётного порядка воз-

растают, а нечётного — убывают; любая подходящая дробь чётного

порядка меньше любой подходящей дроби нечётного порядка.

Перечисленные свойства подходящих дробей дают нам возмож-

ность целесообразно определить значение бесконечной цепной дроби

и построить развёрнутую теорию таких дробей.

Прежде всего подходящие дроби чётного порядка образуют

в силу свойства 3 возрастающую последовательность

все члены которой остаются меньше

, поэтому существует предел

lim