ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

315

сло Ь не имело иных простых Делителей, кроме ПРОСТЫХ Дели-

телей числа К.

Наконец, совокупность доказанных нами теорем показывает, что

все иррациональные числа и только они представляются непериоди-

ческими К-ичными дробями. Таким образом, нами установлены

теперь все основные законы взаимного соответствия между ариф-

метическоИ природоИ представляемого числа и типом представляю-

щей его систематической дроби. Важнейший из этих законов со-

стоит в том, что независимо от выбранной системы счисления

рациональные числа имеют периодические, а иррациональные — не-

периодические представления. Дальнейшие особенности представле-

ний рациональных чисел зависят уже, как мы видели, от арифме-

тических связей этих чисел с выбранной системой счисления.

S 12. Цепные дроби

В главе III мы видели, что всякое рациональное число одно-

значно представляется цепной дробью. [ао; ., ап] и что, обратно,

всякая такая дробь представляет некоторое определённое рацио-

нальное число. Поэтому, если мы хотим охватить аппаратом цепных

дробей и числа иррациональные, то должны, прежде всего, заняться

растнирением самого этого аппарата. Таким естественным расши-

рением представляется введение бесконечных цепных дробей,

т. е. выражений вида

(5)

— [а ; а, , (12, . , •

0-1 +

1

1

- -f-a_F

п— целое число, а 01, щ, ..., а п, — натуральные числа.

где а

Само собою разумеется, что такого рода выражение не имеет

никакого определённого смысла до каких-либо специальных согла-

шений по этому вопросу 1).

Чтобы прийти к таким целесообразным соглашениям, заметим,

прежде всего, что мы можем для формально определённой дроби (5),

1) Вспомним, что и аналогичное формальное определение систематиче-

ской дроби с помощью последовательности цифр щ, щ, . „ „ ап,

. также не

придавало этому символу • определённого реального смысла, покуда мы пе

согласились приписывать ему значения