320

а—

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ставлено бесконечной цепнои дробью (единственность такого пред-

ставления нами уже установлена). Пусть а— любое иррациональное

число; определим для него последовательности чисел ак и ак выше-

описанным рекуррентным процессом, т. е. с помощью соотношений

(6) и (7) (этот процесс будет обязательно бесконечным, так как

оборваться он мог бы только, если бы какое-нибудь ап оказалось

цслым числом; но тогда, очевидно, число а было бы рациональным);

при этом мы имеем:

и следовательно, ak+1>l, а значит, и

Как мы видели выше, при любом

аге —

для К

1

1

1

Эти соотношения показывают,

Рп-н

дроби

как функции от

qrf+1

через апн (не изменяя ао, .

будет равно а. А так как

РП+1

что если в выражении подходящей

заменить a,t+1

ао, , ..., ап, апп

, ап), то значение этой функции

Рпап+1 + Рп-1

qnan+l К— 1

где рп_1, рв, qn_1, зависят только ОТ ао,

отсюда

допаи+1Н- Ред .

капы -4- qn—1

Pnan+i + Р п— 1

[7пап+1 -4— qn—1

1 — РАп-1Щ

1

. а п, ТО

(8)

12 •

+ qn—i) qn

1)qn

Таким образом,

1 im