ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ЛИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

327

гаемых правой части последнего равенства имеют один и тот же

знак, вследствие чего

qa — р • qna—pn • а —Prt+1 •

Отсюда мы имеем неравенство (4) во всех случаях, кроме одного

только исключения: если qn+1a—prt+1 1, то

qa—p qna—pn

При этом уравнения (5) дают обязательно:

Итак, мы приходим к выводу, что при 0 всегда

qa — р qna — р п ;

при этом знак равенства возможен только в случае, когда q

Рам

или в случае, КОГДа а

в этом последнем случае апн, будучи последним элементом конеч-

ной цепной дроби

[ао; ат, ... , an+11

по нашему соглашению (глава III, стр. 300) всегда больше единицы,

так что pqn—l— qn-1 >qn•

Таким образом, мы находим:

lqa —Р —pnl (0

qa—p qna — р п I (О (ћ+1)•

(6)

(7)

наилучшим прибли-

Условимся называть рациональную дробь

жением второго рода числа а, если при и любом

целом l'

Неравенство (6) показывает, что всякая подходящая дробь числа а

служит для него наилучшим приближением второго рода; слова «вто-

рого рода» имеют целью указать, что здесь близость дроби

к числу а мы оцениваем разностью lka—ll в противоположность

приближениям «первого рода», о которых говорит теорема 1, и где

близость оценивается разностью а— —

Таким образом, подходящие дроби оказываются «наилучшими

приближениями» как в том, так и в другом смысле. Замечательно,

однако, что в случае приближений второго рода подходящие дроби

обладают этим свойством, так сказать, монопольно: всякое наилуч-

шее nptt6,4ttoreHlte второго рода есть подходящая дробь