Но ,Vtsn есть целое число; поэтому последние неравенства показы-

вают, что

но при п

—sn-1 ==

и следовательно,

чем теорема 2 полностью доказана.

Т еор ем а З. Любое Действительное число а отрезка 0

представляетст одной и только одной /е-ичноп Дробью.

До к аз а т ель с т в о. Единственность представления является но-

посредственным следствием теоремы 2, в силу которой цифры ап

представляющей дроби однозначно выражаются через представля-

омое число а согласно формулам (2). Что касается возможности

представления, то для её доказательства достаточно опять-таки

в силу теоремо! 2 показать, что числа ап, определяемые по фор-

мулам (2), при любом а могут служить цифрами некоторой К-ичной

дроби; а для этого, очевидно, нужно, чтобы для всех п » 1

н чтобы все ап, начиная с некоторого, не оказались равными К— 1.

Пусть для 1

ТОГјха

[КПа]

так что

а в [КПа] — [,Vt-la] —

а так как то

Далее, в силу тех же неравенств 0 [В существует такое на-

туральное число Ч, что

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

/en.sn

— (/en-1sn 1)

311

1) Очевидно, что вообще, если а + у,. где а

— целое

число,

то