ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

S 13. Подходящие дроби в роли наилучших приближений

Если хотят приближённо выразить какое-либо действительное

число с помощью рациональной дроби, то на практике с этой

целью обычно пользуются аппаратом десятичных дробей. Данное

число (будет ли оно рациональным или иррациональным) разла-

гается в десятичную дробь; если эта дробь оказывается конечной

и притом не длинной, то, конечно, никаких приближений искать

не приходится, так как полученная несложная десятичная дробь

даёт удобное и притом абсолютно точное представление данного

числа. Но если получаемая десятичная дробь окажется бесконечной

или хотя бы и конечной, но слишком длинной и потому неудобной

для практических расчётов, то для целей практики её по извест-

ным правилам «округляют», т. е. ограничивают небольшим числом

десятичных знаков, отбрасывая остальные. Такое «округление» и

есть не что иное, как замена ценою некоторой погрешности дан-

ного числа рациональной дробью со сравнительно небольшими

числителем и знаменателем.

Какова же допускаемая при этом погрешность? Так как наша

цель при всяком таком приближённом представлении состоит в том,

чтобы получить возможно ббльшую точность (т. е. возможно мень-

шую погрешность) при возможно меньших числителе и знаменателе

приближающей дроби, то естественно, что величину погрешности

обычно сравнивают с величиной знаменателя этой дроби (конечно,

числитель и знаменатель этой дроби имеют один и тот же поря-

док великости, так что для сравнения достаточно привлечь какое-

нибудь одно из этих чисел; знаменателя выбирают потому, что его

всегда считают положительным, тогда как числитель может быть и

отрицательным). Если при округлении данной десятичной дроби мы

ограничиваемся п знаками после запятой, то это означает, что дан-

ное число приближённо представляется дробью со знаменате-

лем l(Y!. Как известно, погрешность при этом не превосходит

половины единицы последнего из взятых нами разрядов, т. е. не

превосходит

1

1