ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

321

т. е. построенная нами бесконечная цепная дробь действительно

представляет данное иррациональное число а.

Общий вывод, к которому мы пришли, может быть формулиро-

ван в виде следующего основного предложения:

Те о р ем а 8. Каждое Действительное число и единственным

образом представляется цепною Дробью; эта дробь конечна, если

число а рационально, и бесконечна, если оно иррационально.

11ри этом важно отметить, что проведённое нами доказательство

носит вполне конструктивный характер, т. е. устанавливает не только

самый факт существования представляющей данное число цепной

дроби, но и метод, позволяющий с помощью весьма простого

алгорифма последовательно найти все её элементы.

Мы видим, что основной закон представления чисел цепными

дробями, выражаемый теоремами 7 и 8, замечательно прост: каждому

числу соответствует единственная дробь, каждой дроби —

един-

ственное число; рациональным числам соответствуют конечные,

иррациональным — бесконечные дроби. Как мы уже подчеркивали,

такая стройность и простота обусловлены свойствами самого аппа-

рата и, прежде всего, — его «абсолютным» характером, не связан-

ным ни с какой определённой системой счисления.

Независимо от введения элементов теории цепных дробей

в наши школьные программы это учение даёт превосходный мате-

риал для кружковой и вообще внеклассной работы. В этом отно-

шении можно особенно рекомендовать содержание следующей

главы 5. Опыт показывает, что цепные дроби и их использование

для приближённого представления действутельных чисел всегда

привлекают внимание и интерес учащи*ся; в особенности это

касается тех случаев, когда результаты формулируются в виде

простых, законченных и эффектных теорем, к тому же легко и

изящно доказываемых, как это имеет место почти во всей пробле-

матике, связанной с представлением чисел цепными дробями.

21 Энциклопедия, кн. 1.