802

элементы твории ЧИСЕЛ

Так как для К 222 эти соотношения уже установлены, то нам

остается только показать, что если они верны для некоторого числа

К то они остаются верными и для числа К + 1. Но при

1

Рк

4-

1

ак+1

надо только в выражении дроби -3

значит, для получения дроби

1

заменить ак на ак —1-

всюду, где оно встречается. Но в силу (8)

акы

мы имеем:

причём рк_1, рк_2, очевидно, зависят только от ао,

ак_1, но не зависят от ак•, поэтому

_ (рк-яак + +рк-1 _ркак+1 +рк 1

(чк-шк -4- чк-9) -1--чк-1 дкакн 4- чк-1

т. е. и действительно выражаются но формулам (8)

ною К на К + 1.

Примечание. Мы скоро убедимся, что если Рк и

строены согласно рекуррентным формулам (8), то дроби

(9)

с заме-

ПО-

(9) все

несократимы. Прежде чем это установлено, мы просто уславливаемся

принимать за числители и знаменатели подходящих дробей именно

числа рж и П, рекуррентно получаемые по формулам (8), не забо-

тясь при этом о несократимости дробей (9).

Дробь

называется подходящей дробью порядка К; оче-

видно, эта дробь является функцией элементов ао, ф, .. а, ак.

Соотношение (9), в котором, как уже было подчёркнуто, рк_1,

(lk_2 от ак не зависят, показывает, что при фиксированных

(т. е. получивших определенные числовые значения) ао, (21 , ..., ак_1

дробь

становится простой дробно-л инеи ной функцией