304

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

С другой стороны, теорема 1 даёт возможность сделать весьма

полные выводы о взаимном расположении подходящих дробей.

В самом деле, из д»

следует:

Ркы

т. е. для чётных К мы имеем:

к, а для

* . Начнём с пары

(рис. 1). Очевидно,

нечётных:

; далее, мы

знаем, что - ; но так как расстояние

от

до

меньше, чем

до Щ, то

Р2

лежит между

расстояние

как и

отмечено

равное

от

на рис. 1.

Рис. 1.

Переходя теперь к отысканию положения дроби

, мы, прежде

но так как, с другой стороны,

всего, замечаем, что

1

Рд ближе, чем

лежит к

лежит между

то

как и отмечено на рис. 1. Очевидно, что мы можем продолжать

П

это рассуждение вплоть до

а

выводом из него, очевидно,

является следующее предложение:

Т е о р е м а 2. Все подходящие дроби чйпного порядка

а

и величина их возрастает с ростом порядка; все

меньше - ,

а

подходящие дробн нечётного поряД1са больше

и величина их

убывает с ростол порядка.

Из этой теоремы, в частности, следует, что число

заключено

между двумя любыми своими последовательными подходящими

а

дробями

и каж-

и следовательно, расстояние между

дой из этих двух дробей меньше , расстояния между самими этими