326

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

В этом случае указанный выше переход оказывается вполне три-

виальным. Однако история развития всего этого учения показала,

что систематическое использование величины lqa—pl для оценки

приближения числа а рациональной дробью

— имеет заметные пре-

Р

имущества перед применением с этой целью величины и—— .

С одной стороны, законы приближения часто находят себе при

этом более цельное и законченное выражение (пример такого слу-

чая мы сейчас увидим); с другой стороны (и это особенно важно),

этот путь оказывается чрезвычайно богатым расширяющими возмож-

ностями: с предельной естественностью он ведёт к образованию

новых понятий и постановке новых задач, в значительной степени

обогащающих собою эту область науки. В дальнейшем мы будем

иметь случай указать некоторые примеры и в этом направлении.

Попытаемся, прежде всего, рассмотреть с этой новои точки

зрения 3 у задачу, решение которой в нашей прежней трактовке

— подходящая дробь числа и и пусть

даётся теоремой 1. Пусть

qna—pnt?

(4)

Для решения этого вопроса мы рассмотрим систему двух урав-

нений

РпХ+РпнУ=р,

(5)

qnx-F

1, то системе

с неизвестными Х и у; так как pnq,t+1 — qnPn+1

этой удовлетворяет единственная пара чисел (х, у) и эти числа —

целые. Несколько расширяя наши предпосылки, мы допустим, что q

есть любое натуральное число, меньшее, чем и отличное от (7 п;

с другой стороны, мы, очевидно, можем, не ограничивая общности

несократима. Тогда

поставленной задачи, допустить, что дробь

легко убедиться, что определяемые системой (5) целые числа х и у

будут иметь противоположные знаки, т. е. ху 4). В самом деле,

если ху>0 или то второе из уравнений (5) даёт

что неверно; если же у то мы из этого же уравнения полу-

чаем что также исключено (разумеется, в этом случае 1,

не была бы несократимой). Итак, ху

так как иначе дробь

Но из уравнений (5) следует:

в силу теоремы 7 главы IV

Так как числа qna—pn и (1 пма—рпн

имеют противоположные знаки, то из следует, что оба сла-