318

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Т е ор е ма 7. Каждая бесконечная цепная дробь (5), в кото-

любые нату-

рой ап — любое целое число, а (22, .

ральные чис.ш, представляет определённое Действшпеяьное цисло а,

определяемое как

1im

1im [ао•, Щ, (72, ..., ап]•

Прн этол для любого -2:0

и для любого п

ъ

(12k+i

qnqn+i

Во всём предшествующем мы считали дробь (5) данной и искали

представляемое ею действительное число а. Теперь мы переходим

к решению обратной задачи. Пусть дано любое действительное число а;

постараемся узнать, существует ли представляющая это число цеп-

ная дробь, и если существует, то сколько таких дробей и как они

могут быть

С этой целью допустим сначала, что число а представляется

бесконечной цепной дробью (5), и постараемся выразить через а

элементы ап это\ћ цепной дроби. Так как мы уже знаем (террема 7),

что любая бесконечная цепная дробь представляет некоторое дей-

ствительное число, то, в частности, мы можем определить числа

.], [щ; аз, .

(22 , аз, ап,

и вообще

(1-k+9' •

Очень легко установить соотношение между числами ц.. и

подходящие дроби

В самом деле, условимся обозначать через

тои цепной дроби, которая определяет ак, и через

рая определяет тогда

[ок; акњо 0•k+2' • •

[акн; ак„,

—6 — той, кото-

Так как по определению ак и

lirn

ctk*1

lim