ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

319

то, заставляя в полученном равенстве r безгранично возрастать (при

неизменном К), мы в пределе находим (если положить

ак_ак+

Так как при и аж;в1, то ак>1 для 2, ...

соотношения (6) (где 1) дают:

а это означает, что

(6)

Поэтому

(7)

Таким образом, если число а представляется какой-либо беско-

нечноИ цепной дробью (5), то элементы этой дроби могут быть

рекуррентно найдены следующим простым процессом: 1) а

2) если числа ai и уже найдены для i

соотношением (6), а затем определяется в силу (7) как [а, +1].

Мы приходим, таким Образом, к важному выводу:

если число а может быть представлено бесконечной цепной дробью,

то элементы этой дроби по числу а определяются однозначно. Это

показывает, что представление числа а в виде бесконечной цепной

дроби, если оно существует, является единственным; другими сло-

вами, не может существовать двух различных бесконечных цеп-

ных Дробей, представляющих одно и то же число.

а

Заметим теперь, что в случае, когда число а ==--

рационально,

наш процесс последовательного построения чисел Ч, Ч, .,

выра-

жаемый рекуррентной формулой (6), ничем не отличается от того

процесса, с помощью которого мы в тлаве lIl (стр. 297) разлагали

а

в цепную дробь, и наши числа со, а, , а, , —

число •

. не что

7

иное, как построенные там числа

Но там мы ви-

дели, что в случае рационального

- этот разряд чисел необхо-

димо обрывается, т. е. одно из чисел

оказывается

и по формуле (б) уже не может быть

целым, так что а

определено. Теперь же мы видим, что если число а может быть

представлено бесконечной цепной дробью, то для него процесс,

определяемый соотношением (6), никогда не может закончиться и

продолжается безгранично. Из этого сопоставления вытекает, оче-

видно, что ни одно рациональное число не может быть представ-

лено бесконечной пепной дробью и что, следовательно, все числа,

представляемые бесконечными цепными Дробями, иррациональны.

Ч гобы завершить этот круг исследований, нам остаётся показать,

всякое иррациональное число действительно может быть прец-