352

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

как е и т, в то же время до сих пор ничего не знаем об арифме-

тической природе некоторых чисел, так сказать, внутриарифметиче-

ского происхождения. В качестве примера он указал на число 21'2-

и вообще на числа вида аР, где а и р— алгебраические числа, при-

чем а отлично от 0 и 1, а р— иррационально (в частности, таким

числом является так как из eTti—

следует е

R —i-20. эта

задача Гильберта получила весьма широкую известность; однако

в течение тридцати лет в этом направлении не было получено ни-

каких результатов, и казалось, что и подхода к этому кругу проблем

никакого не видно. Но в 30-х годах нашего столетия тогда еще

очень молодой советский ученый А. О. Гельфонд открыл весьма

сильный общий метод, основанный на теории функций комплексного

переменного и позволивший решить задачу Гильберта сначала для

некоторых классов, а затем (в 1936 г.) и для всех указанных Гиль-

бертом чисел: Гельфонд доказал, что все эти числа без исключения

трансцендентны- Замечательные методы, созданные сонетским учё-

ным, были затем им самим постепенно усовершенствованы и в на-

стоящее время дают возможность устанавливать трансцендентность

весьма широких классов чисел.

Литература

1. Полнскъ собрание сочинений П. Л. Чебышева, т. 1, Теория чисел.

издательство АН СССР, 1944.

В этом томе смраны все классические произведения П. Л. Чебышева

по теории чисел, а именно: его «Теория сравнений», представляющая пре-

восходный, ясно и доступно написанный курс теории чисел, исследования

закопа распределения простых чисел в натура иьном ряде и др.

2. Виногра дов И. М., Основы теории чисел, издание пятое, перера-

ботаиное. Гостехиздат, М. — Л., 1949.

Сжато, но просто и отчётливо написанный курс теории чисел, содер-

жащий значительное количество оригинальпых задач и вопросов с решениями.

З. А р ноль д И. В., Теория чисел, Пособие для пединститутов, Учпед-

гиз, м., 19.39.

Хороший учебник теории чисел, включающий, помимо основного элемеп-

тарного курса, много сведений из других отделов современной теории чисел,

частично без доказательств. В конце книги даны упражнения по теории чисел.

4. Д ик сон Л. Е., Введение в теорию чисел, Обработанный перевод

с англ. Выи. 1, Тбилиси, 1941.

Книга ценна собранием задач, особенно па неопределёппые уравнения

высших степеней, снабжённых в русском издании подробными решениями.

5. Де л оне Б. Н., Петербургская школа теории чисел. Издательство

АН СССР, М. 1947.

Книга в хронологическом порядке знакомит с творчеством крупнейших

русских учёных, работавших по теории чисел: Г]. Л. Чебышева, А. Н. Кор-

кина Е. И. Золотарёва, А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного и И. М- Виноградова.

6. Ш н ир е ль ма Л. Г., Простые числа, Гостехиздат. М. l.(HO.

Небольшая (6() стр. малого Цюрмата), но весьма содержательная бро-

шюра, представляющая введение в теорию чисел. В неё входят: основы

теории сравнений, основы арифметики комплексных чисел, некоторые ре-

зу.чьтаты Чебышева с упрощепными доказательствами и др.; за исключе-

нием последнего параграфа, доступна учащимся десятого класса средней

школы.