340

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Тем более замечательно, что если число а иррационально, то,

каково бы ни было р, неравенство (16) при любом яоэюет

быть реализовано надлежаще выбранныян целыми х, у. Проще

всего это может быть доказано следующим рассуждением. Из тео-

рии цепных дробей мы знаем, что для иррационального а целые

числа q и р могут быть выбраны так. что

положим для краткости qa и рассмотрим последователь-

носгь чисел

Очевидно, найдётся такое h>O, что

откуда

kqa — Кр — р Е,

так что, полагая у мы действительно реализуем не-

равенство (16).

До сих пор мы занимались только вопросом о возможности при-

ближённого решения уравнения (15) с любой наперёд заданной

степенью точности, не спрашивая себя о том, как велики будут

числа х и у, потребные для этой цели. Можно, однако, пойти в

этом направлении гораздо дальше и установить для неоднородной

задачи законы, вполне аналогичные тем, какие мы нашли в преды-

дущем разделе для однородной задачи. Мы ограничимся доказатель-

ством теоремы, принадлежащей Чебышеву и составляющей важней-

ший результат его замечательного исследования.

Т е ор е ма 9. Если а— иррациональное, р— любое Действи-

тельное число, то существует бесчисленное яножество целых

значений чисел х и у, для которых

Доказательст во. Пусть

— подходящая дробь

так что

числа

а,

обозначим через r ближайшее к произведению qp целое число, так

что

1

Как мы знаем из главы II, сравнению

p.xzzr (mod q)

07)