ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ПРИБЛИЖЕНИЯ

337

П— подходящие дроби числа а; выберем (что всегда воз-

пуск

можно) п так, чтобы тогда, как известно,

—-

что и доказывает теорему 7. Однако главное преимущество метода

Дирихле состоит не в его элементарности (хотя и этот момент,

конечно, достаточно важен). Его мощность встаёт в полный рост

тогда, когда мы от простейшего уравнения (11) переходим к более

сложным и общим задачам.

Дирихле обратил внимание на то, что задача, которую мы толь-

ко что решили для уравнения (1 1), может быть в точности так же

поставлена и для более общего уравнения

- Хаап — У 0,

где (11 , Ч, ., ап— данные действительные числа, а х1, , хп,у

целочисленные переменные, причём тривиальное решение х,

также, разумеется, раз навсегда исключается.

Можно ли надлежащим (нетривиальным) выбором целых у сде-

лать абсолютную величину разности

сколь угодно малой и, если можно, то сколь большими придётся

для этого выбирать числа Xil (а следовательно, и 1 у l)? Было бы

безнадёжно пытаться использовать для решения этой задачи аппа-

рат цепных дробей: как показала история развития этой области

математики, не существует (и, повидимому, не может сушествовать)

такого удовлетворительного во всех отношениях алгорифма для

совместного арифметического исследования нескольких иррацио-

нальностей (11, ау, ... , ап, какой мы имеем для случая одной ирра-

циональности а в лице цепных дробей. Напротив, метод Дирихле,

как мы сейчас покажем, применяется к новой, общей задаче с та-

кои же лёгкостью и приводит к столь же простому её решению,

как и в случае рассмотренной нами выше простейшей задачи.

Заставим переменные Хо х„,... , хп пробегать независимо друг

t (где данное натуральное

от друга ряд чисел 0,

число). Очевидно, мы получим всего систем значений (Хо

хп), а следовательно, столько же значений суммы

5Ciai И

столько же дробных частей

22 Энцикдоие,шя, км.

.X8i