334

ЭЛЕМЕНТЫ твории ЧИСЕЛ

в силу (10)

ав случае апо

1

Мы предположили для определенности

Но если бы было

то та же цепь рассуждений, с повышением только всех

qn4-1

индексов на единицу, показала бы нам, очевидно, что либо

либо 1/3. Таким образом, первое утверждение теоре-

мы 6 доказано.

Для доказательства второго утверждения рассмотрим число

так

так

что

и

как Х—

1 а — а для любого п; отсюда

1

2

что —

—Р0' опираясь на

-Г- qn_1, МЫ ПОЛНОЙ индукцией

для любого п

—1 4- — , то, очевидно, а

1,

1,

Поэтому, как бы мало ни было

з

формулы Рп Рп-ь

немедленно устанавливаем,

при достаточно большом п

и, следовательно, в силу (10)

отсюда для всех достаточно больших п

1

1

Таким образом, если с <

то среди подходящих дробей чис-

ла может быть лишь конечное число таких, для которых

Рп С

а так как среди дробей, не с.чужащих подходящими дробями числа

Х, в силу теоремы З вообще ни одна не может удовлетворять этому

неравенству, то и второе утверждение теоремы 6 доказано.