АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ЧИСЛА
349
После того как такая нумерация произведена, построение при-
меров трансиенлентных чисел не представляет уже никаких затруд-
нений. Пусть цепная дробь, представляющая число ак, имеет вид
при этом мы условимся в случае, если есть рациональное число
и, следовательно, наша цепная дробь имеет последний элемент a(h),
—0 (чтобы иметь
писать (только на этот раз!)
возможность всякое действительное число представить бе с ко н е ч-
но й цепной пробью).
Положим теперь для любого 0
Тогда цепная дробь
имеет все элементы, начиная с Ь], положительными и, следовательно,
представляет некоторое действительное число [В. Докажем, что это
число — трансцендентное. В самом деле, так как ряд (7) содержит
все алгебраические числа, то если бы число [з было алгебраическим,
оно должно было бы совпадать с одним из чисел сх,е этого ряда; но
в силу единственности представления чисел пепными дробями из
следует при любом п Г— 0 и, значит, в частности
— af), что противоречит определению числа Ь . Таким образом,
трансцендентность числа р доказана.
Ясно, что мы можем при построении нашего трансцендентного
числа как угодно варьировать определение чисел Т., лишь бы было
Ь и Ь ф. a(h). Это показывает, что метод Кантора позволяет
легко построить сколько угодно трансцендентных чисел.
S 17. Арифметическая природа классических постоянных
Мы видели во всех случаях, что построение действительных
чисел с заранее заданными чертами их арифметической природы не
представляет значительных затруднений: мы можем построить сколько
угодно примеров чисел, заведомо иррациональных или заведомо
трансцендентных, чисел, очень хорошо или, напротив, не слишком
хорошо аппроксимируемых рациональными дробями, и т. дъ Но не-
сравненно более трудньце задачи встают, когда мы хотим опреде-
лить арифметические чертьь числа, появившегося в нашей научной
практике под влиянием мотивов совсем не арифметического харак-
тера, пришедшего в арифметику, так сказать, извне. Будет ли чи-
сло к, определяемое в геометрии как отношение длины окружности