332

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Доказательство. Так как дроби

стороны числа а, то из

лежат по разные

1

следовало бы:

q'

или

1

1

Р

qq'

2

(1

что очевидно неверно. Этим теорема б доказана.

Таким образом, всякое иррациональное число имеет бесконеч-

ное множество таких подходящих дробей е,

что

Сам собою встаёт здесь вопрос о возможности усиления этого ре-

зультата: нельзя ли заменить здесь постоянную 1/2 в правой части

неравенства другою, меньшей постоянной с, которая выполняла бы

ту же самую роль, т. е. для любого иррационального числа и суще-

ствовало бы бесчисленное множество таких подходящих дробей

2

что

И если такие числа c<-»- существуют, то каково наименьшее из

них? Решение этого вопроса означает в известном смысле отыска-

ние наилучшего универсального (т. е. имеющего место для любой

иррациональности и) закона приближения действительных чисел

рациональными дробями.

Гурвиц доказал, что наименьшее допустимое значение постоян-

1

. Несколько позднее Борель показал, что из любых трех

ной с есть

последовательных подходящих дробей любого числа а по меньшей

мере одна даёт требуемое приближение; таким образом, имеет место

Теорема 6. Если Цц:еу РП+*

— три последовательные

qn qrt+'

подходящие дроби числа и, то имеет жесто по меньшей жере одно

из трёх неравенств

P'tl<

1

Рпњя

1

РП+1

5 qBrt4-1