ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФЛНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

339

также не могло бы быть установлено известными алгорифмическими

методами и является замечательным достижением метода Дирихле.

Вступив на этот путь обобщений, наука скоро увидела здесь

перед собой неисчерпаемое поле для исследований. От общего ли-

нейного однородного уравнения, которым мы только что занима-

лись, йредставилось естественным перейти, с одной стороны, к си-

стемам таких уравнений, а с другой, —к неоднородным уравнениям.

Можно, конечно, вообще не ограничиваться одними только линей-

ными уравнениями, а перейти к алгебраическим уравнениям высших

степеней, а затем и к некоторым трансцендентным уравнениям. Так

создавалось учение о приближенном решении уравнений в целых

числах, которое, по предложению Минковского, принято теперь на-

зывать теорией диофантовых приближений — наименование очень

удачное, так как диофантовыми уравнениями называют уже давно

уравнения, в которых неизвестные могут принимать только целые

значения. Основоположниками этого учения были Дирихле, Чебышев,

Кронекер и Минковский. В частности, Минковским был создан в

этой области глубокий и очень сильный метод, состоящий в систе-

матическом применении к задачам теории чисел геометрических

закономерностей (так называемая «геометрия чисел»).

Простейшая из неоднородных линейных задач этой области со-

стоит, очевидно, в исследовании законов приближённого решения

уравнения

ха — у — р О,

(15)

где а и р— данные действительные числа, а х и у— целочислен-

ные неизвестные. Эту задачу впервые поставил и далеко исследовал

великий русский ученый П. Л. Чебышев. Если предположить, что

О 1 (что, очевидно, не ограничивает общности постановки

задачи), то у [ха], и задача Чебышева состоит в исследовании

таких целых значений х, для которых дробная часть произведения

ха близка к данному заранее числу р, подобно тому как прежде

мы искали значения х, для которых эта дробная часть близка к

нулю. Уже самая возможность при любом подобрать целые

х, у так, чтобы

(16)

(т. е. возможность приближённого решения уравнения (15) с любой

степенью точности), здесь совсем не ясна с самого начала. Если,

например, число

рационально, то ясно, что ха—у при

Ь

любых. целых ..vg у также будет рациональной дробью со знамена-

телем Ь; поэтому, если р отстоит

на расстояние д от ближайшей

к нему дроби со знаменателем Ь,

то неравенство

—рка

невыполнимо ни при каких целых