АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

343

Обобщая эти замечания, мы естественно приходим к общему

рассмотрению таких действительных чисел, которые являются кор-

нями какого-либо алгебраического уравнения

ао.хп -Е аихп-я 4- -1— ап_1х ап 0

(3)

а . Такие числа называют алгебраическими.

с целыми ао, ... , п

Если число а служит корнем уравнения (З), но не удовлетворяет

никакому уравнению того же типа степени то а называют ал-

гебраичсския числом порядка п (или степени п). Таким образом,

рациональные числа могут быть определены как алгебраические

числа первой степени (или первого порядка), / 2 есть алгебраиче-

ское число второй степени и т. д.

Первый и основной вопрос, встающий после введения этого но-

вого понятия, очевидно, гласит: существуют ли такие действите.чь-

ные числа, которые не являются алгебраическими, т. е. не удовлет-

воряют никакому уравнению типа (З) с целыми коэффициентами?

Первый ответ на этот вопрос, а также и первые примеры таких

неалгебраических чисел были даны Лиувиллем около середины XIX

столетия. Путь Лиувилля был следующий: сначала он показал, что

для алгебраических чисел при их приближении рациональными дро-

бями необходимо должны наблюдаться некоторые специфические

закономерности; потом он легко построил примеры чисел, прибли-

жение которых этим закономерностям не подчиняется и которые,

следовательно, не могут быть алгебраическими.

Все неалгебраические числа называются трансцендентными (т. е.

«выходящими за пределы»). Трансцендентные числа Лиувилля, к по-

строению которых мы сейчас перейдём, были исторически первым

примером этого рода чисел.

Пусть а— алгебраическое число степени п, удовлетворяющее

уравнению (З) (и не удовлетворяющее никакому уравнению низшей

степени). Будем для краткости обозначать через f(x) левую часть

уравнения (З), так что Если бы многочлен .f(x) имел ра-

то f (х) делилось бы по теореме Безу на

а

циональный корень

и мы имели бы

где. Л (х) — многочлен степени п— 1 с рациональными коэффициен-

тами. Так как и О, то мы имели бы: Л

если обозначить через д обншй знаменатель коэффициентов много-

члена Л (х), то ДЛ (х) есть многочлен степени п— 1 с целыми

коэффициентами и д Л (а) что невозможно, так как а есть,

по- предположению, —алгсбраическое число степени п. Полученное