АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСТ

351

следовательно, 1, и а не может быть целым числом, что

и доказывает иррациональность числа е.

Доказательство иррациональности числа значительно сложнее:

для т мы не знаем уже столь простого и арифметически обозримого

изображающего аппарата, каким служит ряд (8) для числа е. Исто-

рически иррациональность числа •п была впервые обнаружена, когда

в цепную дробь; так как эта

удалось найти разложение числа

дробь оказалась бесконечной, то число

— — а следовательно, и т—

4

иррационально.

Однако несравненно труднее было решить вопрос о том, является

ли каждое из чисел е и Е алгебраическим или трансцендентным.

Трансцендентность числа е была впервые доказана Эрмитом в 1873 г.

сложным аналитическим методом, основанным на рассмотрении не-

которых определённых интегралов с бесконечными пределами. Ввиду

той фундаментальной роли, которую играет число е в дифферен-

циальном и интегральном исчислениях, привлечение интегралов к ре-

шению вопроса об арифметической природе этого числа отнюдь

нельзя считать искусственным. Девять лет спустя Линдеман, разви-

вая далее метод Эрмита, доказал трансцендентность числа т. Под-

ход к этому числу методом Эрмита мог бы показаться странным,

так как числа е и по своему первоначальному определению ничем

друг с другом не связаны; они для арифметики как бы пришельцы

из разных стран. Однако замечательное, играющее выдающуюся роль

тесно связывает их между собою

в анализе соотношение е

и позволяет в принципе любой метод, созданный для изучения одного

из них, применить и к другому; этой связью и воспользовался Лин-

деман в своих исследованиях.

После того как таким образом была установлена трансцендент-

ность двух важнейших классических постоянных, в течение долгого

времени в этой области не удавалось создать ничего нового. Насколько

трудна и бедна сколько-нибудь общими методами эта проблематика,

можно видеть из того, что мы до сих пор ничего не знаем об

арифметической природе таких чисел, как е-\-тс, е— R или e%t•, не

известно даже, будут ли они иррациональными. Гильберт в 1907 г.

значительно упростил доказательства Эрмита и Линдемана для чи-

сел е и я; Гурвицу удалось найти доказательства, вообще свобод-

ные от интегралов (но существенно пользующиеся дифференциаль-

ным исчислением). Но все эти исследования, чрезвычайно глубокие

и в то же время изящные, все же не были методологически силь-

нее прежних — не позволяли получить новых результатов.

На международном математическом конгрессе 1900 г. Гильберт

в своём знаменитом докладе об актуальных математических пробле-

мах современности обратил внимание на то, что мы, успешно спра-

вившись с такими со стороны пришедшими в арифметику числами,