346

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Если теперь и натуральное число п заданы произвольно,

и если число настолько велико, что —0, то

Поэтому число согласно теореме Лиувилля не может быть алге-

браическим числом степени п; а так как п ПРОИЗВОЛЬНО, то число а

вообще не может быть алгебраическим.

Теперь проведём построение примера трансцендентного числа

без всякого алгорифма. Начнём с любой несократимой дроби —

Окружим ее отрезком

1)

В отрезке дя выберем другую несократкмую дробь

и окружим её отрезком

так

Вообще, если отрезок уже построен, то мы выбираем

чтобы

в нём

Р п, так чтобы Ъ _1, и окру-

произвольно несократимую дробь

жаем ео отрезком

Этот процесс мы можем продолжать безгранично. Покажем, что от-

резок д п целиком лежит внутри отрезка Дп_1 2). В самом деле,

если бы, например, правый конец Ап лежал правее правого конца

(или совпадал с ним), то это означало бы:

1

Рп Рп-1

откуда

qn—l

Но средняя часть этих неравенств есть положительная дробь со зна-

, и получаем:

q • значит, она не меньше чем

менателем

Ъ-Шп

откуда что неверно.

Итак, Ап целиком содержится внутри л; а так как при п

длина отрезка Ап стремится к нулю, то существует единственное

2

число а, принадлежащее всем отрезкам 1,