344

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

противоречие показывает, что многочлен f (х) не может иметь

рациональных корней.

По теореме Безу из следует, что тождественно

Р

где с, (х) — многочлен степени п— 1. Полагая х— -

мы находим:

(5

(4)

Допустим теперь, что

есть рациональная дробь, лежащая в от-

резке (а

1, а -1— 1), и обозначим через (В наибольшее значение

функции в этом отрезке, так что, в частности,

Так как по доказанному

аорп -I- a„pn-1q 4- • • • ап(1

(5)

то , и соотношение (4) в силу неравенства (5) даёт:

f,qn•

Так обстоит дело для любой рациональной дроби Ц

принадлежа-

щей отрезку (а— 1, а 4-1). Но если

лежит вне этого отрезка,

то

поэтому, если означает меньшее из чисел 1 и

л ю б о й рациональной дроби

то уже для

(6)

Мы приходим, таким образом, к следующему общему предложению,

составляющему основу метода Лиувилля:

Т е о рема Ли ув илл я. Для всякого алеебраицеского числа сс

степени п сушествует такое положительное число Х, что, какова

бы ни была рациональная дробь Ц, имеем луесшо неравенство (6).

Вглядимся в смысл этого предложения. Мы знаем, что для лю-

бого иррационального числа а существует бесчисленное множество