350

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

к диаметру, рациональным или иррациональным. —об этом нам его

определение не говорит ничего. Будет ли число е, определяемое

в анализе как

е— lim (1

или как

if

2!

п!

(8)

алгебраическим или трансцендентным и насколько хорошо оно ап-

проксимируется рациональными дробями,

— всего этого непосред-

ственно из его определений узнать не удаётся. А между тем,

числа е и играют во всей. математике настолько фундаментальную

роль, что нам трудно примириться с нашим полным незнанием их

арифметических черт. Поэтому понятно, что изучение арифметиче-

ской природы этих, а также других «классических постоянных»

давно уже привлекало к себе внимание учёных; трудность же задачи,

как всегда бывает в науке, только ещё более стимулировала энер-

гию исследователей. И в наше время, хотя многие из задач этой

области остаются и до сих пор нерешёнными, наука все же с пол-

ным правом гордится замечательными достижениями в ука.занном

направлении, — достижениями, стоившими напряжённых усилий силь-

нейшим умам, в особенности последнего столетия.

Сравнительно рано стало известным, что числа е и

б иррацио-

нальны. Для числа е доказательство его иррациональности настолько

просто, что мы можем привести его здесь; исходной точкой для нас

будет при этом представление числа как суммы бесконечного ряда (8).

Если бы число е было рациональным, е

а

, то число было

бы целым; но ряд (8) даёт:

В правой части все слагаемые первой строки — целые числа; а так

как и левая часть есть в силу нашего предположения целое число,

то целым числом должна быть и сумма слагаемых второй строки,

т. е. величина

1

1

¯ + (Ь + 1) (Ь 4-2) (Ь -4- 2) (Ь •

• но эта сумма положительна и в то же время, очевидно, меньше чем

(Ь + + (Ь + 1).3 -4-