АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧНСЛЛ

347

Пусть теперь снова произвольно заданы и натуральное

число п; пусть К и столь велико, что Х; тогда, так как а

принадлежит отрезку дк, мы имеем:

1

Так как п и произвольны, то в силу теоремы Лиувилля число а

S 16. Метод Кантора

Спустя 20—25 лет после работ Лиувилля стали появляться ис-

следования Георга Кантора, положившие начало новой важнейшей

ветви математической науки — теории множеств. Одним из первых

плодов этих исследований явилось новое, глубоко оригинальное до-

казательство существования трансцендентных чисел. Это был обра-

зец такого математического рассуждения, какое до тех пор ещё

никогда не применялось в науке, а в дальнейшем послужило прото-

типом для целого ряда других плодотворных конструкций-

Кантор впервые обратил серьёзное внимание на тот факт, что

все алгебраические числа можно пер е счит а т ь. Что это значит?

Это значит, как и обычно, что можно каждому алгебраическому

числу придать определённый, одному ему приписанный номер. По-

нятно, что никакого конечного числа номеров для этой цели нехва-

тит, потому что алгебраических чисел — бесконечное множество

(к ним принадлежат все рациональные и, в частности, все натураль-

ные числа). Но в нашем распоряжении находится безграничный

ряд номеров — все натуральные числа. И вот оказывается, что с

помощью этого бесконечного ряда натуральных номеров можно

перенумеровать все алгебраические числа, подобно тому как с по-

мощью первых десяти натуральных чисел можно перенумеровать

все пальцы рук. Но не тривиально ли это? Натуральных чисел бес-

конечно много, а имея неограниченный запас номеров, не можем

ли мы с их помощью перенумеровать предметы любого множества?

Кантор показал (и это, быть может, самый блестящий из его пер-

вых результатов), что это не так: множество С всех дсйствительных

чисел не может быть перенумеровано даже с помощью всего бес-

конечного ряда натуральных чисел. Отсюда уже прямо следует су-

ществование трансцендентных чисел: если бы их не было, то мно-

жество С совпадало бы со множеством А всех алгебраических чи-

сел и, следовате,чьно, могло бы быть перенумеровано.

Посмотрим т перь, как можно перенумеровать все

ские числа. Каж ое алгебраическое число есть корень

алгебраического [уравнения вида (З), причём (10, 01, ... ,

алгебраиче-

некоторого

а — целые