330

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Тогда имеет место следующая теорема, также принадлежащая Ле-

жандру:

Теор е ма 4. Для того чтобы дробь —

была подходящей

Дробью числа а, необходимо и Достагпочно, чтобы

(8)

Приме чан и е. Так как всегда q+q' <2q, то теорема З

является непосредственным следствием теоремы 4.

Доказательство. 1) Если

— есть подходящая дробь числа

а, тот есть предшествующая подходящая дробь; как мы видели

много раз, при этом 1)

где q” есть знаменатель следующей за

подходящей дроби. Но

в силу 3akdHa образования подходящих дробей q” может быть пред-

•ставлено в виде aq -k-q', где 1, и следовательно, q” »q-l-q',

так что

1

qa — р

необходимость признака, таким образом, установлена.

2) Пусть теперь, обратно, имеет место неравенство (8). Мы

всегда можем (и притом единственным образом) определить дейст-

вительное число р так, что

__рр + ре

а

(9)

(для этого достаточно решить написанное уравнение относительно Р).

р в цепную дробь есть апњ„

Пусть разложение числа

покажем, что а п+1 1, для чего достаточно убедиться, что 2:1.

Согласно неравенству (8)

р

откуда

1

i(q7 4-4')

q(q+q')

и, следовательно, 1.

1) Мы предполагаем здесь qa * р; это не ограничивает сбщиости, так

как при неравенство (8) тривиально.