цВпныв ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Так как мы знаем [глава 1V, стр. 320, формула (8)], что из

(11, ... , ап]

следует:

то

331

Пусть теперь подходящие дроби числа р

будут:

Ps

' [ап+1' ап+2'

• • • n4-S

Ps

qs

тогда

и

р lim

lim ао; а

lim [ао; ар ... , ап, апн, •

, a,wsl•

Но это означает, что а равно цепной дроби

все элементы которой, как мы доказали, положительны; эта дробь

и есть, как мы знаем, единственная цепная дробь, представляющая

число а; в частности,

01, .

есть подходящая дробь числа а, чем доказана И достаточность при-

знака Лежандра.

Мы уже говорили выше, что признак, даваемый теоремой З, не

является необходимым (или, что то же, теорема З не допускает

обращения). Но если не каждая подходящая дробь обладает этим

признаком, то всё же из каждых двух последовательных подходя-

щих дробей числа а по меньшей мере одна им обладает; об этом

говорит следующая, установленная Валеном

— две последовательные подходя-

Теорема 5. Если

ише дроби числа а, то илеет место по меньшей жере одно из

двух неравенств

2q'S •

q'

1) Здесь число р, вообще говоря, не целое; разумеется, это ни в какой

мере не должно смущать читателя, так как данное нами определение символа

а ё] сохраняет смысл дри любом В