АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА

таких рациональных дробей Щ

что

345

это можно рассматривать как некий универсальный (т. е. реа-

лизующийся для вс як ого иррационального а) закон приближения.

Однако могут существовать и такие а, для которых имеют место

гораздо более сильные приближения. Мы скоро увидим, что в этом

отношении не может быть никакого предела, что существуют ирраци-

ональности, которые аппроксимируются рациональными дробями

лучше, чем по любому наперёд заданному закону. Теорема Лиувилля

показывает, что для алгебра ич е с ких иррациональностей при-

ближение рациональными дробями уже не может быть сколь угодно

тесным; его близость ограничивается некоторым определённым зако-

ном (зависящим, кстати сказать, от степени данного алгебраического

числа). Так, наппимер, для квадратической иррациональности а (п

всегда существует такое что при любых р и q

т. е. квадратические иррациональности (например, ур 2, и т. д.)

никогда не могут быть аппроксимируемы лучше, чем по «универ-

сальному» закону.

Таким образом, если нам удастся построить такое число, кото-

рое при любом п допускает приближения рациональными дробями,

более сильные, чем допускаемые теоремой Лиувилля, то это число

по необходимости будет трансцендентным. И вот оказывается, что

такого рода числа (так называемые «трансцендентные числа Лиувилля»)

могут быть построены с большою легкостью; с этой целью может

быть использован любой из аппаратов, служащих для приближён-

ного представления чисел рациональными дробями; но можно кон-

струировать их и не опираясь ни на какой специальный аппарат.

Возьмём, например, аппарат цепных дробей. Положим ао —0

а дальнейшие элементы конструируемой дроби будем определять

по следующему рекуррентному правилу: если ао, щ, ... , ап уже

определены (а следовательно, определена и подходящая дробь Р п),

то положим: а

п -1-1

[ао; (11, а,2, ,

Построенная таким образом цепная дробь

.. ] представляет, как мы знаем, некоторое

иррациональное число ц; покажем, что это число трансцендентное.

В самом деле, мы знаем, что для любого К

— qf, то отсюда

так как а,ен —