290

элцмвнты ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Итак, мы можем допустить, что у многочлена Р (х) коэффициент

старшего члена равен 1. Поэтому, деля ХР—Х на Р (х), мы полу-

чим в частном и в остатке многочлены с целыми коэффициентами.

Обозначим эти многочлены соответственно через М (х) и N(x), так

что

очевидно, М (х) есть многочлен степени р — п, а степень много-

члена N(x) не превосходит п—— 1.

Допустим теперь, что сравнение (16) имеет п решений- Так как

сравнение (modp) выполняется тождественно, то все

эти п решений удовлетворяют и сравнению

— О (modp);

но если бы хотя один из коэффициентов многочлена N(x) не делился

на р, то (mod р) было бы сравнением степени и не

могло бы поэтому иметь п решений. Таким образом, все коэффи-

циенты многочлена N(x) должны делиться на р.

Пусть теперь, обратно, известно, что все коэффициенты много-

члена N(x) делятся на р, т. е. (modp) тождественно;

тогда тождественно

Р (х) М (ХУЕ О (mod р),

(17)

т. е. этому сравнению удовлетворяют все р классов по модулю р.

Но любое решение сравнения (17) удовлетворяет, очевидно, по мень-

шей мере одному из сравнений

(modp), (modp),

так что сумма чисел решений этих двух сравнений не может быть

меньше р; но из этих сравнений второе имеет не более р— п реше-

нии; отсюда и следует, что число решений сравнения (16) не может

быть менее п и, значит, в точности равно п.

Таким образом, мы приходим к следующему критерию:

Те ор е ма 8. Для того чтобы сравнение (16) степени п

с коэффициентом 1 при старшем члене имело в точности п реше-

ют, необходимо и Достаточно, чтобы все каэффиниенты яного-

члена, получающегося в остатке при Делении хР—х на Р (х),

Делились на р.